Об одном аналоге аддитивной проблемы делителей с квадратичными формами

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. Одной из них является проблема делителей Ингама о представлении натурального числа в виде разности произведений натуральных чисел. Уточнением остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений данного уравнения занимались такие математики как T. Эстерман, Д. И. Исмоилов, Д. Р. Хиз-Браун, Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков, Ж.-М. Дезуйе и Х. Иванец.
В настоящей работе рассматривается бинарная аддитивная задача с квадратичными формами, которая является аналогом классической проблемы делителей Ингама. Пусть $d$ — отрицательное бесквадратное число, $F={Q}(\sqrt{d})$ — мнимое квадратичное поле, $\delta_{F}$ — дискриминант поля $F$; $Q_{1}(\overline{m})$, $Q_{2}(\overline{k})$ — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами $A_{1}$, $A_{2}$, $\det A_{1}=\det A_{2}=-\delta_{F}$, $\varepsilon>0$ — произвольно малое число; $n\in \mathbb{N}$, $h \in \mathbb{N}$.
Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения $Q_{1}(\overline{m})-Q_{2}(\overline{k})=h$ с весами $\exp\left({-({Q_{1}(\overline{m})+Q_{2}(\overline{k})})/{n}}\right)$. В данной асимптотической формуле дискриминант поля $\delta_F$ — фиксированное число, а остаточный член имеет оценку $O(h^{\varepsilon}n^{3/4+\varepsilon})$, которая не зависит от $\delta_F$. Кроме того, с ростом основного параметра $n$ параметр $h$ может расти как $O(n)$.
Доказательство асимптотической формулы основано на круговом методе, когда сумма, являющаяся числом решений рассматриваемого уравнения, представляется в виде интеграла; разбиении отрезка интегрирования числами ряда Фарея, при этом выбранные веса позволяют использовать функциональное уравнение для двумерного тета-ряда. Кроме того, представляет важность оценка одной суммы, содержащей суммы Гаусса. За счет явных формул для некоторого произведения сумм Гаусса от числа, взаимно простого с дискриминантом поля, удается представить данную сумму как сумму Клоостермана и применить к ней оценку А. Вейля.
Библиография: 16 названий.