Многообразие полуколец, порожденное двухэлементными полукольцами с коммутативным идемпотентным умножением

В статье исследовано многообразие $\mathfrak N$, порожденное двухэлементными коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцами.
При изучении многообразий полуколец исходными служат две классические теоремы Биркгофа (о характеризации многообразий алгебраических структур и о подпрямой разложимости).
J. A. Kalman в 1971 году доказал, что с точностью до изоморфизма существует три подпрямо неразложимых коммутативных идемпотентных полукольца, обладающих двойственным законом дистрибутивности $x+yz=(x+y)(x+z)$: двухэлементное поле, двухэлементное моно-полукольцо, а также некоторое трехэлементное полукольцо.
В 1999 году S. Ghosh показал, что произвольное коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо с тождеством $x+2xy=x$ будет подпрямым произведением булева кольца и дистрибутивной решетки. Аналогичный результат для класса всех мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем и единицей, обладающих тождеством $1+2x=1$, получил F. Guzman в 1992 году. Показано, что любое такое полукольцо коммутативно и является подпрямым произведением семейства двухэлементных полей и двухэлементных цепей, а также может быть порождено одним трехэлементным полукольцом.
Нами в даной работе получены следующие результаты. Доказаны некоторые необходимые условия подпрямой неразложимости полуколец из многообразия $\mathfrak M$ всех полуколец с коммутативным идемпотентным умножением. Показано, что произвольное полукольцо из $\mathfrak M$ является подпрямым произведением двух коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец, одно из которых обладает тождеством $3x=x$, а другое — тождеством $3x=2x$.
Найдены все подпрямо неразложимые полукольца в $\mathfrak N$. Описаны подмногообразия в $\mathfrak N$. Показано, что в классе $\mathfrak M$ многообразие $\mathfrak N$ задается одним тождеством $x+2xy+yz=x+2xz+yz$. Доказано, что решетка всех подмногообразий многообразия $\mathfrak N$ является 16-элементной булевой решеткой.
Библиография: 16 названий.