О плотности решетчатого покрытия для $n=17$

В настоящей работе улучшена оценка плотности решетчатого покрытия евклидова пространства размерности $n=17$. Этот результат направлен на решение проблемы, известной в литературе как проблема С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий [1, 2].
Настоящая работа является продолжением ряда работ автора, среди которых основной является работа [3], в которой даны подробные определения, а также методика исследования и приведены доказательства основных теорем. Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами работы [3].
Настоящий результат получен на основе полного описания строения $L$-разбиения классической решетки Коксетера $A_{17}^6$. Также приведено полное описание строения её многогранника Вороного–Дирихле как многогранника, заданного своими вершинами. На основе этого для решетчатого покрытия, отвечающего этой решетке, вычислено точное значение радиуса покрытия и функции плотности покрытия. Значение функции плотности покрытия оказалось лучше (меньше) ранее известных. Тем самым для $n=17$ улучшена оценка минимальной плотности решетчатого покрытия евклидова пространства равными шарами.
Исторически исследование $L$-разбиений решеток Коксетера $A_n^r$ было начато С. С. Рышковым в работе [4]. Среди $L$-тел решетки $A_{17}^6$ встречается правильный симплекс $S$ относительного объёма 6 (в таблице 1 это тело обозначено через $F_1$). Это заранее известное из [4] $L$-тело, с которого мы начинали перечисление всех $L$-тел.
Первоначально $L$-тела были получены нами с использованием ЭВМ при помощи известного «метода пустого шара» Делоне (см. [5]). В качестве первого шага этого метода мы использовали результаты работы [4] для $S$.
В настоящей работе мы для формы $A_{17}^6$ доводим начатые в [4] исследования до полного завершения.
Аналогичные результаты, полученные мною ранее для размерностей $n=11,\ldots,15$, мы подробно обсуждали в своё время с С. С. Рышковым на его спецсеминарах по теории решёток при кафедре дискретной математики механико-математического факультета МГУ. Сергей Сергеевич давал высокую оценку тем результатам и называл их «результатами уровня доктора физико-математических наук», что для меня, безусловно, являлось и продолжает являться большим стимулом для проведения новых исследований. Настоящий результат для $n=17$ по объемам вычислений превосходит все предыдущие вместе взятые.
Я посвящаю этот результат памяти своего учителя — Сергея Сергеевича Рышкова.
Библиография: 19 наименований.