Статистические структуры порождаемые рандомизированными плотностями распределения

Методы дифференциальной геометрии находят применения в исследовании информационных массивов (семейств вероятностных распределений пространств квантовых состояний, нейронных сетей и т.п.). Исследования по информационной геометрии восходят к С. Рао, который на основе фишеровской информационной матрицы определил риманову метрику на многообразии распределений вероятностей. Дальнейшие исследования привели к понятию статистического многообразия. Статистическое многообразие это гладкое конечномерное многообразие, на котором задана метрически-аффинная структура, т.е. риманова метрика и линейная связность без кручения, совместимая с заданной метрикой; при этом выполняется условие Кодацци. Геометрическое многообразие в том числе и статистическое многообразие задается структурным тензором.
В предлагаемом исследовании рассматриваются статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями нормального распределения и распределения Коши. В основу исследования положено утверждение о том, что рандомизированную плотность вероятности нормального распределения можно рассматривать как решение задачи Коши для уравнения теплопроводности, а рандомизированную плотность вероятности распределения Коши можно рассматривать как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Обратно, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности можно рассматривать как рандомизированную плотность вероятности нормального распределения, а решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа как рандомизированную плотность вероятности распределения Коши. Основная задача работы состояла в том, чтобы для каждого из этих двух случаев найти компоненты информационной матрицы Фишера и структурного тензора.
Для преодоления вычислительных трудностей, нами обнаружены нелинейные дифференциальные уравнения первого, второго и третьего порядков для плотности нормального распределения и плотности Коши. Компоненты метрического тензора (информационной матрицы Фишера) и компоненты тензора деформации вычисляются по формулам, в которых присутствует функция правдоподобия, т.е. логарифм от плотности распределения. Из положительной определенности информационной матрицы Фишера получаются неравенства, которым заведомо удовлетворяют решения задачи Коши с неотрицательными начальными условиями в случае уравнения Лапласа и уравнения теплопроводности.
Библиография: 23 названия.