Об оценке дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта на единичной прямой

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел. Исследования поведения дзета-функции Римана $\zeta(s)$ в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле.
Основным результатом данной работы является применение метода Виноградова для оценки $\zeta(s,k)$-дзета-функции квадратичной формы $K$ растущего отрицательного дискриминанта $(-d)$. Непосредственному применение метода Виноградова для оценки $\zeta(s,k)$-дзета-функции квадратичной формы $K$ растущего отрицательного дискриминанта $(-d)$ препятствует отсутствие подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля $Q(\sqrt{-d})$ для положительно определенных квадратичных форм дискриминанта $(-d)$. Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. С. М. Воронин в своей работе [1] получено приближенное функциональное уравнение для $\zeta(s,K)$, главный член которого представляет начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы. Доказательство проводится путем приближения дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле. Так же в статье описана истории вопроса поведения дзета-функции Римана $\zeta(s)$ в критической полосе. Выделены основные результаты, актуальные на сегодняшний день, показаны приложения найденных результатов.
Библиография: 15 названий.