The Laplace transform of Dirichlet $L$-functions

Пусть$\chi$ характер Дирихле по модулю $q$. $L$- функция Дирихле $L(s,\chi)$ в полуплоскости $\sigma>1$ определяемая рядом
$$ L(s,\chi)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\chi(m)}{m^s} $$
и мeроморфно продолжается на всю комплексную плоскость. Если $\chi$-неглавный характер, то функция $L(s,\chi)$ является целой. В случае главного характера функция $L(s,\chi)$ имеет единственный простой полюс в точке $s=1$. $L$- функции Дирихле играют важную роль при исследовании распределения простых чисел в арифметических прогресcиях, поэтому их аналитические свойства заслуживают пристального внимания. В применениях часто нужны моменты $L$- функций Дирихле, асимптотическое поведение которых очень сложное. При исследовании моментов применяются различные методы, один из которых основан на применении преобразований Меллина. В свою очередь, преобразования Меллина используют преобразования Лапласа. В статье получены явные формулы для преобразования Лапласа функции $\arrowvert L(s,\chi) \arrowvert^2$ в критической полосе. Эти формулы расширяют формулы, доказаные в [BaLa] на критической прямой $\sigma=\frac{1}{2}$.