Матричные уравнения систем фазовой синхронизации

В статье рассматривается система матричных уравнений Лурье. Такая система имеет прикладное значение при исследовании асимптотической устойчивости состояний равновесия системы дифференциальных уравнений, нахождении областей притяжения состояний равновесия, определения условий существования предельных циклов для систем дифференциальных уравнений, исследовании глобальной устойчивости, скрытой синхронизации систем фазовой и частотно-фазовой автоподстройки частоты. Известно, что условия разрешимости матричных уравнений Лурье определяются «частотной теоремой Якубовича-Калмана». Для изучения нелинейных колебаний фазовых систем возникает необходимость нахождения решений матричных уравнений Лурье.
В данной статье рассматривается случай, когда матричное неравенство Ляпунова, входящее в состав уравнений Лурье, имеет матрицу с действительными собственными значениями, часть из которых могут быть нулевыми. Для такого случая получены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений Лурье и определен вид решений, что позволяет провести их спектральный анализ. Явный вид решений матричных уравнений дал возможность провести их геометрическую интерпретацию в зависимости от спектра, показать взаимосвязь уравнения линейной связи с квадратичными формами решений уравнений Лурье. В основе метода анализа матричных уравнений лежит подход, базирующийся на использовании прямого произведения матриц и применении обобщенно обратных матриц для нахождения решений систем линейных уравнений. Результаты работы позволили исследовать систему трех матричных уравнений возникающую при изучении фазовых систем частотно-фазовой автоподстройки частоты.