Подстановка Рози и локальная структура разбиений тора

Для любого иррационального $\alpha$ можно рассмотреть разбиения отрезка $[0;1]$ точками вида $\{i\alpha\}$ с $0\leq i<n$. Данные разбиения обладают целым рядом интересных свойств, наиболее известными из которых являются теоремы о трех длинах и о трех прыжках. В частности, эти разбиения содержат отрезки либо двух, либо трех различных длин. В случае двух длин соответствующие разбиения известны как обобщенные разбиения Фибоначчи. Они тесно связаны с комбинаторикой слов, одномерными квазипериодическими разбиениями, множествами ограниченного остатка, отображениями первого возвращения для иррациональных поворотов окружности и т. д.
Перенос общих теорем о трех длинах и о трех прыжках на двумерный случай, то есть на точки вида $(\{i\alpha_1\},\{i\alpha_2\})$ является известной открытой проблемой. В настоящей работе рассматривается некоторый частный случай этой задачи связанный с двумерными обобщениями разбиений Фибоначчи. Эти разбиения получаются при помощи итераций геометрической версии знаменитой подстановки Рози. Они возникают в комбинаторике слов при изучении обобщений последовательностей Штурма, а также в теории чисел при изучении сдвигов тора. Рассматриваемые разбиения состоят из ромбов трех различных типов. Доказано, что во всех разбиениях существует ровно 9 типов наборов ромбов, соседних с заданным ромбом. Также дан способ позволяющий по ромбу разбиения однозначно установить его соседей. Полученные результаты можно рассматривать как первый шаг к многомерному обобщению теорем о трех длинах и трех прыжках.