On Langlands program, global fields and shtukas

В обзоре, который посвященн 80-десятилетию А.В. Яковлева, 75-петию С.В. Востокова и 75-летию В.В Лурье, представлены избранные результаты реализации программы Ленглендса над глобальными полями. Работы юбиляров связаны с алгебраической теорией чисел в её как локальных, так и глобальных аспектах, и с построением соответствующих теорий полей классов. Гипотезы Ленглендса, как отметил И.Р. Шафаревич, имеют целью "обобщение теории полей классов, аналогичное обобщению теории абелевых функций". Обзор является введением в программу Ланглендса, глобальные поля, Д-штуки и конечные штуки над полями функцый алгебраических кривых над конечными полями, и не является исчерпывающим. В зависимости от выбора основного поля, результаты реализации программы Ленглендса были получены и обсуждались Ленглендсом, Жаке, Шафаревичем, Паршиным, Дринфельдом, Лаффорге и другими. Напомним, что линейные алгебраические группы нашли важные приложения в программе Ланглендса. Именно, для связной редуктивной группы $G$ над глобальным полем $K$ соответствие Ленглендса соотносит автоморфные формы на $G$ и глобальные параметры Ленглендса, а именно, классы сопряженности гомоморфизмов из абсолютной группы Галуа поля $K$ в группу Ленглендса ${^L}G$. Для полей алгебраических чисел применения и развитие программы Ленглендса позволило усилить теорему Вайлса о гипотезе Шимуры-Таниямы-Вейля и доказать гипотезу Сато-Тейта. Дринфельд и Лаффорге исследовали случай общей линейной группы над глобальным функциональными полями ненулевой характеристики (Дринфельд для $G = GL_2$ и Лаффорге для $GL_r$, $r$ произвольное положительное целое) и доказали в этом случае соответствие Ленглендса. В процессе этих исследований Дринфельдом была введена концерсия $F$-пучков, или штук, которая использовалась обоими авторами в процессе установления соответствия Ленглендса. Наряду с использованием штук, были предложены и использованы другие конструкции. Андерсен предложил концепсию $ t $-мотива. Хартль, его коллеги и ученики предложили и исследовали (связанные со штуками, $ t $-мотивами и $\varphi$-пучками) концепсии конечных, локальных и глобальных $ G $-штук. В предлагаемой обзорной статье мы начинаем с краткого представления результатов программы Ленглендса над полями алгебраических чисел и их локализаций. Далее кратко представлены подходы Хартля, его коллег и учеников. Эти подходы и их обсуждение связаны как с программой Ленглендса, так и с внутренним развитием теории $ G $-штук.
Автор признателен анонимному рецензенту за замечания и советы, доктору Зиян Дингу (Zhiyuan Ding) за замечание, Н.М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.