О нулевых множествах слабо локализуемых главных подмодулей в алгебре Шварца

Рассматривается алгебра Шварца $\mathcal P,$ которая как линейное топологическое пространство изоморфна пространству распределений с компактными носителями на вещественной прямой. Согласно теореме Пэли — Винера — Шварца соответствующий изоморфизм реализуется преобразованием Фурье — Лапласа. Подмодули алгебры $\mathcal P$ — замкнутые подпространства, инвариантные относительно умножения на независимую переменную $z$, — представляют собой эффективный инструмент в исследовании задачи спектрального синтеза для оператора дифференцирования в пространстве $C^{\infty} (\mathbb R).$ В связи с рядом нерешённых вопросов, касающихся спектрального синтеза, мы исследуем главные подмодули алгебры $\mathcal P.$ Ранее нами были получены достаточные условия и весовой критерий слабой локализуемости для главного подмодуля; они сформулированы в терминах условий на функцию, порождающую подмодуль. Вопрос об условиях слабой локализуемости главного подмодуля полезно изучать и в такой постановке: определить, будет ли заданный подмодуль слабо локализуем, по структуре его нулевого множества (или, что то же самое, нулевого множества порождающей его функции). Окончательное решение этого вопроса — весьма сложная задача. Мы приводим описание одного класса последовательностей, каждая из которых есть нулевое множество слабо локализуемого главного подмодуля.