О спектре гамильтониана Ландау, возмущённого периодическим электрическим потенциалом из пространства Соболева $H^s_{\rm loc}(\mathbb R^2;\mathbb R),$ $s>0$

Рассматривается гамильтониан Ландау $\widehat H_B+V$, действующий в $L^2({\mathbb R}^2)$ и возмущённый периодическим электрическим потенциалом $V$. Предполагается, что магнитный поток $\eta =(2\pi )^{-1}Bv(K)$ однородного магнитного поля $B>0$ является рациональным числом, где $v(K)$ — площадь элементарной ячейки $K$ решётки периодов $\Lambda $ потенциала $V$. Определяются семейства банаховых пространств ${\mathcal L}^n_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$, которые (как линейные пространства) являются линейными подпространствами пространств Соболева $H^n_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$, $n\in {\mathbb N} \cup \{ 0\} $, периодических с решёткой периодов $\Lambda $ функций из $H^n_{\mathrm {loc}}({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$ и которые содержат плотные $G_{\delta }$-множества ${\mathcal O}\subseteq {\mathcal L}^n_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$, такие, что для любого электрического потенциала $V\in {\mathcal O}$ и любого однородного магнитного поля с потоком $0<\eta \in {\mathbb Q}$ спектр оператора $\widehat H_B+V$ абсолютно непрерывен. В частности, в качестве пространств ${\mathcal L}^n_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$ можно выбирать пространства $H^s_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$, $s\in [n,n+1)$. Также при заданных решётке периодов $\Lambda \subset {\mathbb R}^2$ и однородном магнитном поле $B>0$ приведены условия на коэффициенты Фурье периодического электрического потенциала $V\in H^n_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$, $n\in {\mathbb N} \cup \{ 0\} $, при выполнении которых и при $\eta \in {\mathbb Q}$ спектр оператора $\widehat H_B+V$ абсолютно непрерывен.