Аналитическое детектирование в гомотопических группах гладких многообразий

В работе решается задача определения для отображения сферы в компактное ориентируемое многообразие $S^n \to M,$ $n\geq 1,$ представляет ли оно нетривиальный элемент в гомотопической группе многообразия $\pi_n(M).$ Для этого последовательно используется теория итерированных интегралов, разработанная К.-Т. Ченом. Надо заметить, что итерированные интегралы как повторное интегрирование были ранее содержательно использованы Лаппо-Данилевским для представления решений систем линейных дифференциальных уравнений и Уайтхедом для аналитического описания инварианта Хопфа отображений $f: S^{2n-1}\to S^n,$ $n\geq2.$ В работе дано краткое описание теории Чена, в рамках которой представлены формулы Уайтхеда и Хефлигера для инварианта Хопфа и обобщенного инварианта Хопфа. Приведены примеры вычисления этих инвариантов с использованием техники итерированных интегралов. Далее показано, каким образом можно детектировать любой элемент фундаментальной группы римановой поверхности, используя итерированные интегралы от голоморфных форм. Это потребовало доказательства того, что пересечение членов нижнего центрального ряда фундаментальной группы римановой поверхности есть единичная группа.