Материальный баланс Эйнштейна и моделирование течения сжимаемой жидкости вблизи границы

Мы рассматриваем технику «сшивания» численного решения конечноразностной задачи и аналитического решения, определенных на разных масштабах: вдали и вблизи границы (источника) области течения. Суть подхода заключается в том, что грубая конечноразностная задача и краевая задача в приближении исходной модели математически моделируют два разных режима течения. В своей замечательной статье Писман предлагает схему, позволяющую работать с решениями, определенными на разных масштабах, для линейных стационарных задач, вводя знаменитый радиус блока скважины Писмана. В данной статье предлагается новый подход к решению этой проблемы для неустановившегося течения, обусловленного сжимаемостью жидкости. Мы предлагаем метод склеивания решений через суммарные потоки, заданные на крупной сетке, и изменения давления, обусловленные сжимаемостью, в блоке, содержащем добывающую (нагнетательную) скважину. Важно отметить, что грубое решение «не видит» границы. С прикладной точки зрения наш отчет предоставляет математический аппарат для аналитической интерпретации смоделированных данных течения сжимаемой жидкости в пористой среде вблизи скважины. Его можно рассматривать как математическую «обертку» известной формулы радиуса блока скважины Писмана для линейного (Дарси) неустановившегося течения, но его можно применять и в гораздо более общем сценарии. В статье мы используем подход Эйнштейна для вывода уравнения материального баланса, ключевого инструмента для определения $R_0$ для трех режимов течений сжимаемой жидкости (зависящих от времени):
I. стационарный;
II. псевдостационарный;
III. с доминированием граничного условия.
Отметим, что в известных авторам работах соответствующая задача фактически не зависит от времени.