Автомодельные решения многофазной задачи Стефана на полупрямой

В статье исследуются автомодельные решения многофазной задачи Стефана для уравнения теплопроводности на полупрямой $x>0$ с постоянными начальными данными и граничными условиями Дирихле или Неймана. В случае граничного условия Дирихле мы доказываем, что нелинейная алгебраическая система для определения свободных границ является градиентной, а соответствующий потенциал является явно записанной строго выпуклой и коэрцитивной функцией. Следовательно, существует единственная точка минимума потенциала, координаты этой точки определяют свободные границы и дают искомое решение. В случае граничного условия Неймана мы показываем, что задача может иметь решения с различным числом (типом) фазовых переходов. Для каждого фиксированного типа $n$ система для определения свободных границ снова является градиентной, а соответствующий потенциал оказывается строго выпуклым и коэрцитивным, но в некоторой более широкой нефизической области. В частности, решение типа $n$ единственно и может существовать только в том случае, если точка минимума потенциала принадлежит физической области. Мы приводим явный критерий существования решений любого типа $n.$ Из-за довольно сложной структуры множества решений ни существование, ни единственность решения задачи Стефана—Неймана не гарантируются.