Расслоения и геометрические структуры, ассоциированные с гироскопическими системами

Обзор посвящен топологическим и геометрическим структурам, ассоциированным с гироскопическими системами, у которых функционал действия $S$ многозначен. Целесообразность их построения и исследования обусловлена, в частности, тем, что стандартные методы вариационного исчисления в задаче с закрепленными концами для таких функционалов оказываются неэффективными. Одним из способов преодоления возникающих здесь трудностей является применение расслоений, слоений, связностей, а также римановых и лоренцевых многообразий. На этом пути удается осуществить редукцию двухконцевой задачи для $S$ к задачам с фиксированным началом и подвижным концом для функционала длины $\mathcal L^*$ псевдориманова многообразия, расслоенного над конфигурационным многообразием гироскопической системы. В качестве концевых подмногообразий используются слои риманова слоения, а соответствие между экстремалями функционалов $S$ и $\mathcal L^*$ устанавливается с помощью связности Эресмана этого слоения. В статье обсуждаются результаты о движениях натуральных механических систем с гироскопическими силами и гироскопических систем релятивистского типа, полученные с применением указанной редукции, а также о топологических и геометрических свойствах использованных в ней конструкций.