Фокусировка вихревого пучка с круговой поляризацией: спиновый, орбитальный и общий угловой момент

На основе формализма Ричардса–Вольфа получены два разных точных выражения для плотности углового момента света в фокусе оптического вихря с топологическим зарядом $n$ и с правой круговой поляризацией. Одно выражение для плотности углового момента получается как векторное произведение радиус-вектора на вектор Пойнтинга и имеет ненулевое значение в фокусе для произвольного целого числа $n$. Другое выражение для плотности углового момента равно сумме орбитального углового момента и спинового углового момента и в фокусе рассматриваемого светового поля равно нулю при $n=–1$. Оба эти выражения не равны друг другу в каждой точке пространства, но их трёхмерные интегралы равны. Таким образом, получены точные выражения для плотностей углового момента (УМ), спинового углового момента (СУМ) и орбитального углового момента (ОУМ) в фокусе оптического вихря с правой круговой поляризацией, и показано, что тождество для плотностей УМ = СУМ + ОУМ неверно. Кроме того, показано, что выражения для векторов напряжённости электрического и магнитного полей вблизи острого фокуса, полученные на основе формализма Ричардса–Вольфа, являются точными решениями уравнений Максвелла. Таким образом, теория Ричардса–Вольфа точно описывает поведение света вблизи острого фокуса в свободном пространстве.