Интегрирование релятивистских волновых уравнений в космологической модели Бъянки IX

В работе рассматривается интегрирование уравнений Клейна-Гордона и Дирака в космологической модели Бъянки IX. При помощи метода некоммутативного интегрирования дифференциальных уравнений найдены новые точные решения для осесимметричной модели.
Метод некоммутативного интегрирования в данной задаче основан на использовании специального бесконечномерного голоморфного представления группы вращений, которое строится по невырожденной орбите коприсоединенного представления и комплексной поляризации невырожденного ковектора. Матричные элементы данного представления образуют полный и ортогональный набор и позволяют ввести обобщенное преобразование Фурье. Оператор Казимира группы вращений при этом преобразовании переходит в константу, а операторы симметрии, порожденные векторными полями Киллинга, - в линейные дифференциальные операторы первого порядка от одной зависимой переменной. Таким образом, релятивистские волновые уравнения на группе вращений допускают некоммутативную редукцию к обыкновенному дифференциальному уравнению. В отличие от широко известного метода разделения переменных метод некоммутативного интегрирования учитывает неабелеву алгебру операторов симметрии и дает решения, несущие информацию о некоммутативной симметрии задачи. Такие решения могут быть полезны для учета вакуумных квантовых эффектов и расчета конечных функций Грина методом раздвижки точек.
В работе для осесимметричной модели проведено сравнение полученных решений с известными, которые получаются методом разделения переменных. Показано, что некоммутативные решения выражаются через элементарные функции, тогда как известные решения определяются функцией Вигнера. Причем некоммутативно редуцированное уравнение Клейна-Гордона для осесимметричной модели совпадает с уравнением, редуцированным методом разделения переменных. А некоммутативно редуцированное уравнение Дирака эквивалентно редуцированному уравнению, полученному методом разделения переменных.