Индекс Винера для графов и их реберных графов

Рассматривается индекс Винера – инвариант связного неориентированного графа, равный сумме расстояний между всеми парами его вершин. Показано, что разность индексов Винера графа и его реберного графа может принимать любое целое значение $t$. В частности, дан положительный ответ на открытый вопрос о существовании графов с произвольным цикломатическим числом $\lambda>3$, для которых $t=0$. Доказательство проводится построением соответствующих графов с дополнительными требованиями на двудольность и внешнепланарность.