МАТЕМАТИКА
О существовании решения вырожденного нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром и теория $p$-регулярности
Б. Медакa,
А. А. Третьяковabcd a Siedlce University of Natural Sciences and Humanities, Faculty of Exact and Natural Sciences, Siedlce, Poland
b Федеральный исследовательский центр "Информатика и управление" Российской академии наук, Москва, Россия
c System Researche Institute, Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland
d Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия
Аннотация:
В статье рассматриваются различные модификации нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром
и вырожденного в решении вида
$$
F(u,\varepsilon)\equiv u_t=u_{xx}+uu_x+\varepsilon u^2-f(x,t)=0,\qquad (1)
$$
где
$F\colon \Omega\to C([0,\pi]\times [0,T])$,
$T>0$,
$\Omega=C^2([0,\pi]\times[0,T])\mathbb R$ и
$u(0,t)=u(\pi,t)=0$,
$u(x,0)=\varphi(x)$,
$f(x,t)\in C([0,\pi]\times[0,T])$,
$\varphi(x)\in C[0,\pi]$. Нас будет интересовать наиболее важный в приложениях случай малого параметра
$\varepsilon$ с осциллирующими начальными условиями вида
$\varphi(x)=k\sin{x}$, где
$k$ – некоторая, вообще говоря, зависящая от
$\varepsilon$, константа, и изучать вопрос существования решения в окрестности тривиального
$(u*,\varepsilon*)=(0,0)$, которому соответствует
$k=k*=0$ и при каких начальных условиях на значения
$k$ возможно построение аналитического приближения этого решения при малых
$\varepsilon$.
Мы будем искать решение в традиционном русле разделения переменных на подпространстве функций вида
$u(x,t)=v(t)u(x)$, где
$v(t)=ce^{-t}$,
$u(x)\in C^2([0,\pi])$. В этом случае рассматриваемая задача является вырожденной в точке
$(u*,\varepsilon*)=(0,0)$, так как $\operatorname{Im} F'_u(u*,\varepsilon*)\neq Z=C([0,\pi]\times[0,T])$. Это следует из теории Штурма–Лиувилла. Для осуществления наших целей мы применяем аппарат теории
$p$-регулярности [6, 7, 15, 16] и показываем, что отображение
$F(u,\varepsilon)$ является
$3$-регулярным в точке
$(u*,\varepsilon*)=(0,0)$, т.е.
$p=3$.
Статья представлена к публикации: Ю. Г. ЕвтушенкоПоступило: 02.02.2022
После доработки: 27.10.2022
Принято к публикации: 05.05.2023
DOI:
10.31857/S2686954323700236