О гиперэллиптических кривых нечетной степени и рода $g$ с $6$ точками кручения порядка $2g+1$

Пусть гиперэллиптическая кривая $\mathcal{C}$ рода $g$, определенная над алгебраически замкнутым полем $K$ характеристики $0$, задана уравнением $y^2=f(x)$, где многочлен $f(x)\in K[x]$ свободен от квадратов и имеет нечетную степень $2g + 1$. Кривая $\mathcal{C}$ содержит единственную “бесконечную” точку $\mathcal{O}$, которая является точкой Вейерштрасса. Существует классическое вложение $\mathcal{C}(K)$ в группу $K$-точек $J(K)$ якобиева многообразия $J$ кривой $\mathcal{C}$, отождествляющее точку $\mathcal{O}$ с единичным элементом группы $J(K)$. При $2\le g\le5$ в статье явно найдены представители классов бирациональной эквивалентности таких гиперэллиптических кривых $\mathcal{C}$ с отмеченной единственной точкой на бесконечности $\mathcal{O}$, что множество $\mathcal{C}(K)\cap J(K)$ содержит не менее $6$ точек кручения порядка $2g + 1$. Ранее было известно, что при $g = 2$ таких классов эквивалентности ровно $5$, а при $g\ge3$ была известна верхняя оценка, зависящая только от рода $g$. Мы улучшаем ранее известную верхнюю оценку почти в $36$ раз.