Вещественность функции спектрального сдвига для сжатий и диссипативных операторов

В недавних совместных работах авторов этой заметки решена известная проблема, остававшаяся открытой в течение многих лет, и, тем самым было доказано, что для произвольных сжатий в гильбертовом пространстве с ядерной разностью существует интегрируемая функция спектрального сдвига, для которой справедлив аналог формулы следов Лифшица–Крейна. Аналогичные результаты были получены и для пар диссипативных операторов. При этом в отличие от случая самосопряжённых и унитарных операторов может случиться так, что не существует вещественнозначной интегрируемой функции спектрального сдвига. В этой заметке мы анонсируем результаты, которые дают достаточные условия для существования вещественнозначной интегрируемой функции спектрального сдвига для пар сжатий. Мы также рассматриваем случай пар диссипативных операторов.