Динамика системы при наличии инвариантных соотношений

Обсуждается возможность существования инвариантной меры с гладкой плотностью в двух случаях, относящихся к инвариантным множествам, – на уровнях частных интегралов и на совместном инвариантном уровне двух или нескольких функций. Приводится вариант теоремы Якоби о последнем множителе, который является дополнением к аналогичным утверждениям С.А. Чаплыгина и В.В. Козлова. Исследуются условия, когда инвариантные множества представляют собой двухмерный тор, на котором определена инвариантная мера с гладкой плотностью, поэтому применима теорема А.Н. Колмогорова, в силу которой движение после соответствующей замены является условно-периодическим.