О некоторых новых подходах к исследованию системы нелинейных уравнений второго рода с сингулярными интегралами

Исследуются системы общего вида
\begin{equation} A_ku+F_ku=g_k,\quad k=\overline{1,n},\label{1} \end{equation}
в пространстве $L_p(G)$, $G$ – ограниченное множество. Оператор $F_k$ определяется функцией $f_k=f_k(x;r_1,\dots,r_n)$ ($G\times\mathbb R^n$).
Если вектор-функция $f=\{f_1,f_2,\dots,f_n\}$ монотонна по $\vec r=\{r_1,r_2,\dots,r_n\}$ и рост функции $f_k$ на бесконечности не выше $|r|^\alpha$ ($0<\alpha<1$), без условия секторной ограниченности или коэрцитивности оператора $F=\{F_1,F_2,\dots,F_n\}$ доказано существование решения системы \eqref{1} в $L_p$ ($1<p\le2/\alpha$). (Линейные операторы $A_k$ ($L_p\to L_p$) удовлетворяют лишь некоторому условию квазимонотонности.)
Введено альтернативное определение монотонности. Доказано, что если каждая функция $f_k$ не убывает в отдельности по каждому $r_\gamma$ ($\gamma\ge k$) и не возрастает по остальным $r_i$ и имеет место неравенство $|f_k|\le a_k(x)+M(|r|^\alpha+\sum_{\gamma\ne k}|r_\gamma|^\beta)$, $a_k\in L_p$, $0<\alpha$, $\beta=\min\{1,1/\alpha\}$, то при соответствующих ограничениях на $A_k$ ($L_p\to L_p$) система \eqref{1} имеет решение в $L_p$ ($2\le p\le2/\alpha$ или $p=1+1/\alpha$ при $\alpha>1$).
Полученные результаты применены к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений.
Библиогр. 5 назв.