Задача на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов, когда в граничные условия входят производные по времени

Рассматривается задача нахождения решения уравнений
$$\frac{\partial u^{(1)}}{\partial t}=\sum_{l=0}^2C_{0l}^{(1)}(x)\frac{\partial^lu^{(1)}}{\partial x^l}+f^{(1)}(x,t),\quad x\in(a_1,b_1),\quad x\in(0,T),\\\frac{\partial^2 u^{(2)}}{\partial t^2}=\sum_{\substack{{k+l\le2}\\{k\le1}}}C_{kl}^{(2)}(x)\frac{\partial^{l+k}u^{(2)}}{\partial t^k\partial x^l}+f^{(2)}(x,t),\quad x\in(a_2,b_2),\quad x\in(0,T),$$
удовлетворяющих граничным условиям
$$\sum_{i=1}^2\sum_{l=0}^1\biggl\{\alpha_{sl}^{(i)}\biggl(\frac{\partial}{\partial t}\biggr)\frac{\partial^l u^{(1)}}{\partial x^l}\biggr|_{x=a_i}+\beta_{sl}^{(i)}\biggl(\frac{\partial}{\partial t}\biggr)\frac{\partial^l u^{(1)}}{\partial x^l}\biggr|_{x=b_i}\biggr\}=\gamma_s\quad (s=1,2,3,4)$$
и начальным условиям
$$u^{(i)}(x,0)=\Phi_0^{(i)}(x),\quad x\in(a_i,b_i)\quad(i=1,2),\\\frac{\partial u^{(2)}}{\partial t}\biggr|_{t=0}=\Phi_1^{(2)}(x),\quad x\in(a_2,b_2),$$
где $(a_i,b_i)$ – взаимно не пересекающиеся интервалы, имеющие общие концы,
$$\alpha_{sl}^{(i)}(z)=\sum_{k=0}^i\alpha_{slk}^{(i)}(z^k),\quad\beta_{sl}^{(i)}(z)=\sum_{k=0}^i\beta_{slk}^{(i)}(z^k)\quad(i=1,2),$$
$\alpha_{slk}^{(i)}$, $\beta_{slk}^{(i)}$, $\gamma_s$ – постоянные числа.
При определенных ограничениях на данные задачи методами, разработанными М. Л. Расуловым, доказывается существование решения задачи. При более сильных ограничениях доказывается единственность полученного решения.
Иллюстраций 1. Библиографий 4.