Об ограниченных и колеблющихся решениях системы $\ddot{x}+g(x,\dot{x})=\bar0$

Доказывается ряд теорем о топологической структуре фазового портрета системы обыкновенных дифференциальных уравнений
\begin{equation} \begin{aligned}\dot{x}&=y\\\dot{y}&=-g(x,y)\end{aligned}\biggr\}\tag{1}, \end{equation}
которую автор называет релаксационной, если:
(I) функция $g(x,y)$ определена и непрерывна на $2n$-мерном вещественном евклидовом пространстве $R^{2n}$, где $g(x,\bar0)\ne\bar0$ при $x\ne\bar0$, $g(\bar0,\bar0)=\bar0$, для кусочно-гладкой дуги $\overset\smile{0x}$ из $R^n$ (соединяющей точки $\bar0$ и $x$) криволинейный интеграл
$$G(x)\equiv\int_{\overset\smile{0x}} g(x,\bar0)\,dx\begin{cases}>0 &\text{при}\quad x\ne0,\\\equiv0 &\text{при}\quad x=\bar0\end{cases}$$
неограниченно возрастает вместе с хордой $|x|$;
(II) для определенной и непрерывной на $\overset\smile{0x}$ функции $y$, удовлетворяющей там, где существует дифференциал $dx$, $ydx\equiv|y||dx|$,
$$\lim_{x\to+\infty}\int_{\overset\smile{0x}}\{g(x,y)-g(x,\bar0)\}\,dx>-\infty.$$

Библиографий 11.