Об одной теореме Каратеодори

Обобщается следующая теорема Каратеодори. Пусть функции
\begin{equation} f_k(x;y_1,y_2,\dots,y_n;t)\quad (k=1,2,\dots,n) \label{1} \end{equation}
даны при следующих предположениях: a) для любого значения $t$ внутри определенной окрестности $u_t$ точки $t_0$ и при постоянных значениях $y_i$ $(i=1,2,\dots,n)$ все функции $f_k(x;y_1,y_2,\dots,y_n;t)$ должны быть измеримы по $x$ на интервале $a<x<b$, а при постоянном значении $x$ должны быть непрерывны как функции от $y_1,y_2,\dots,y_n$. Кроме того, должно соблюдаться неравенство
\begin{equation} |f_k(x;y_1,y_2,\dots,y_n;t)|<M(x,t)\quad (k=1,2,\dots,n), \label{2} \end{equation}
где $M(x,t)$ для рассматриваемых значений $t$ должна быть суммируема по Лебегу функция от $x$ на том же интервале $a<x<b$; b) в точке $t=t_0$ и вдоль одного определенного решения
\begin{equation} y^0_k(x)=y_k(x,t_0)\quad (k=1,2,\dots,n) \label{3} \end{equation}
системы (1) функции $f_k(x;y_1,y_2,\dots,y_n;t)$ должны быть почти дифференцируемы по совокупности аргументов $y_1,y_2,\dots,y_n$; c) если точка $t_0+h$ взята из рассматриваемого интервала $u_t$, то должно соблюдаться неравенство
\begin{equation} \biggl| \frac{f_k(x;y_1^0+y^0_1+h_1,\dots,y^0_n+h_n;t_0+h)-f_k(x;y^0_1,\dots,y^0_n;t_0)} {r}\biggr|<K(x),\label{4} \end{equation}
где
\begin{equation} r=\sqrt{h_1^2+h_2^2+\dotsb+h_n^2+h^2}, \label{5} \end{equation}
а $K(x)$ – суммируемая по Лебегу функция на интервале $a<x<b$. Тогда решения
$$ y_k(x,t)= \alpha_k(t)+\int_{x_0}^xf_k(x;y_1(x,t),y_2(x,t),\dots,y_n(x,t);t)\,dx $$
при условии почти дифференцируемости ([1], [2]) функций $\alpha_k(t)$ $(k=1,2,\dots,n)$ в точке $t=t_0$ будут также почти дифференцируемы по $t$ в той же точке $t=t_0$ и для любого значения $x$ интервала $a<x<b$, и их правые (и левые) произвольные удовлетворяют системе уравнений
\begin{gather} \eta_k=\biggl(\frac{\partial f^0_k}{\partial y_1}\biggr)^{\pm}\eta_1+ \biggl(\frac{\partial f^0_k}{\partial y_2}\biggr)^{\pm}\eta_2+\dots+ \biggl(\frac{\partial f^0_k}{\partial y_n}\biggr)^{\pm}\eta_n +\biggl(\frac{\partial f^0_k}{\partial t}\biggr)^{+} \notag\\ (k=1,2,\dots,n),\notag \end{gather}
где для $\eta_i>0$ берется правая частная производная $\displaystyle\biggl(\frac{f^0_k}{y_i}\biggr)^{+}$, а для $\eta_i<0$ – левая частная производная $\displaystyle\biggl(\frac{f^0_k}{y_i}\biggr)^{-}$ (для левых производных надо писать $\displaystyle\biggl(\frac{f^0_k}{t}\biggr)^{-}$).
Библиографий 6.