О топологической эквивалентности систем уравнений в полных дифференциалах в окрестностях замкнутых траекторий

Рассматривается система уравнений
\begin{equation} dx=\sum_{i=1}^np_i(x)\,dt^i,\tag{1} \label{1} \end{equation}
где $x$, $p_i(x)$ – $n+1$-мерные векторы, для которой выполняются условия полной интегрируемости. Предполагается, что система \eqref{1} имеет замкнутую траекторию $\gamma$. Доказано, что по крайней мере один из векторов $p_i(x)$ во всех точках замкнутой траектории отличен от нуля. В окрестности $\gamma$ введена система локальных координат $(z,s)$ (где $z$ – $n$-мерный вектор; $s$ – скаляр). Показано, что и для системы, соответствующей системе \eqref{1} в локальных координатах, выполняются условия полной интегрируемости.
Рассмотрен простейший случай, когда системе \eqref{1} в локальных координатах соответствует линейная система
\begin{equation} dz=\sum_{i=1}^nB_i(s)z\,dt^i+A(s)z\,ds,\tag{2} \label{2} \end{equation}
где $B_i(s)$, $A(s)$ – $n\times n$-матрицы с периодом $1$. Для случая, когда жорданова нормальная форма для матриц $B_i(0)$ ($i=1,2,\dots,n-1$) диагональна, даются условия, при которых две системы вида \eqref{1}, имеющие замкнутые траектории, топологически эквивалентны в окрестностях этих траекторий.
Библиографий 8.