Задача о поперечных колебаниях упруго-вязкого стержня

В работе рассматривается задача о свободных поперечных колебаниях конечного упруго-вязкого стержня в случае, когда один конец стержня закреплен, а второй свободен.
Математически задача ставится следующим образом. Ищется решение уравнения
\begin{equation} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}+a\frac{\partial^4u}{\partial x^4}+b\frac{\partial^5u}{\partial x^4\partial t}=0\quad(0<x<l,\,0<t<T)\tag{1} \label{1} \end{equation}
при начальных условиях
\begin{equation} u|_{t=0}=\varphi(x),\quad\frac{\partial u}{\partial t}\biggr|_{t=0}=\psi(x)\quad(0<x<l)\tag{2} \end{equation}
и граничных условиях
\begin{gather} u|_{x=0}=0,\quad\frac{\partial u}{\partial x}\biggr|_{x=0}=0\quad(t\ge0),\tag{3} \\ \left.\begin{aligned}a\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+b\frac{\partial^3u}{\partial x^2\partial t}\biggr|_{x=l}&=0\\a\frac{\partial^3u}{\partial x^3}+b\frac{\partial^4u}{\partial x^3\partial t}\biggr|_{x=l}&=0\end{aligned}\right\}\quad(t>0)\tag{4}, \label{4} \end{gather}
где $a$ и $b$ – физические постоянные, а $u(x,t)$ – функция прогиба оси стержня. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, решение задачи \eqref{1}–\eqref{4} существует и может быть представлено в виде контурного интеграла
\begin{equation} u(x,t)=\frac1{2\pi i}\lim_{\nu\to\infty}\int_{\Gamma_\nu}u(x,\lambda)\lambda e^{\lambda^2t}\,d\lambda,\tag{5} \label{5} \end{equation}
где $y(x,\lambda)$ – решение некоторой вспомогательной задачи, a $\Gamma_\nu$ ($\nu=1,2,3,\dots$) – некоторая последовательность расширяющихся замкнутых контуров.
Контурный интеграл \eqref{5} вычисляется, и $u(x,t)$ представляется в виде некоторого ряда.
Доказано, что найденное решение единственно в некотором классе функций и устойчиво.
Для получения решения задачи \eqref{1}–\eqref{4} и его математического обоснования применяются вычетный метод и метод контурного интеграла, разработанные М. Л. Расуловым. Кроме того, решение рассматриваемой задачи построено также по методу Фурье.
Иллюстраций 1. Библиографий 8.