О сходимости метода коллокации по линиям

Рассматриваются краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнений
\begin{align}L_u&\equiv\Delta u=v(xy)\tag{1}\label{1},\\L_u&\equiv\Delta u-\lambda u=v(x,y)\tag{2}\label{2}\end{align}
в квадрате $r[0\le x,у\le\pi]$. Приближенные решения разыскиваются в виде
\begin{equation} u_m^{(1)}=\sum_{k=1}^mf_k(x)\sin ky\tag{3} \label{3} \end{equation}
для задачи Дирихле и в виде
\begin{equation} u_m^{(1)}=\sum_{k=1}^m\varphi_k(x)\cos ky\tag{4} \label{4} \end{equation}
для задачи Неймана. Функции $f_k(x)$ и $\varphi_k(x)$, согласно методу коллокации по линиям, определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений
\begin{gather}Lu_m^{(i)}(xy_j)=v(xy_j)\quad(i=1,2)\tag{5}\label{5},\\y=y_j\in(0;\pi)\quad(j=1,2,\dots,m;\,i=1),\tag{6}\label{6}\\y=y_j\in[0;\pi]\quad(j=0,1,\dots,m;\,i=2)\tag{7}\label{7}\end{gather}
с краевыми условиями
\begin{align}f_k(0)&=f_k(\pi)=0\quad(k=1,2,\dots,m;\,i=1),\tag{8}\label{8}\\\varphi'_k(0)&=\varphi'_k(\pi)=0\quad(k=0,1,\dots,m; i=2)\tag{9}\label{9}.\end{align}
При выполнении определенных требований, накладываемых на функцию $v(x,y)$ и на выбор линий коллокации \eqref{6} и \eqref{7}, доказывается разрешимость системы \eqref{5} с условиями \eqref{8} или \eqref{9} и исследуется быстрота сходимости последовательностей приближенных решений $\{\eqref{3},\eqref{5},\eqref{8}\}$ и $\{\eqref{4},\eqref{5},\eqref{9}\}$ к соответствующим точным решениям $u^{(1)}$ $u^{(2)}$.
Аналогичные результаты получены для уравнения
$$\Delta u-\lambda\sum_{k+l=0}^1a_{kl}\frac{\partial^{k+l}}{\partial x^k\partial y^l}u=v(xy),\quad a_{kl}=\operatorname{const}$$
с краевыми условиями Дирихле и Неймана, заданными на границе квадрата $R[-\pi\le x,y\le\pi]$, а также для уравнения
$$\Delta u-\lambda w(xy)u=v(xy)$$
с краевыми условиями
$$u|_\gamma=0,\quad\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\biggr|_{x=0}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\biggr|_{x=\pi}=\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\biggr|_{y=0}=\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\biggr|_{y=\pi}=0.$$

Библиографий 3.