К усреднению в системах интегро-дифференциальных уравнений

Рассматривается система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений вида
\begin{equation} \frac{dx}{dt}=\varepsilon f(t,x,\int_0^t\varphi(t,s,x(s))\,ds),\tag{1} \label{1} \end{equation}
где $\varepsilon>0$ – малый параметр.
Системе \eqref{1} ставится в соответствие система усредненных уравнений
\begin{gather}\frac{d\xi}{dt}=\varepsilon f_0(\xi),\tag{2}\label{2}\\f_0(\xi)=\lim_{T\to\infty}\frac1{T}\int_0^T f(t,x,\int_0^t\varphi(t,s,x)\,ds)\,dt.\tag{3}\label{3}\end{gather}
(Здесь интеграл, стоящий под знаком функции $f$, вычисляется по явно входящему переменному $s$).
Доказывается теорема о близости решений уравнений \eqref{1} и \eqref{2} на интервале порядка $\varepsilon^{-1}$.
Сформулировано следствие, вытекающее из доказанной теоремы, применительно к системам вида
$$\frac{dx}{dt}=\varepsilon F(t,x)+\varepsilon \int_0^t\Phi(t,s,x(s))\,ds.$$
Отмечается, что система интегральных уравнений
$$\varphi(t)=\lambda\int_0^t\Gamma(t,s,\varphi(s))\,ds$$
путем дифференцирования сводится к системе типа \eqref{3} и, следовательно, для таких систем интегральных уравнений можно ввести понятие усреднения.
Библиографий 3.