Об одном дифференциальном уравнении в частных производных с запаздывающим аргументом

Ищется решение уравнения
\begin{equation} \frac{\partial^2u(t,x)}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u(t,x)}{\partial x^2}-b^2\frac{\partial^2u(t-\tau,x)}{\partial t^2}\tag{1} \label{1} \end{equation}
для $t\ge\tau$, удовлетворяющее нулевым граничным
\begin{equation} u(t,0)\equiv0,\quad u(t,l)\equiv0\tag{2} \end{equation}
и начальным условиям
$$u(t,x)=\varphi(t,x),\quad\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\varphi(t,x)\quad\text{ при }\quad0\le t\le\tau,\quad 0\le x\le l.$$

Найдены условия, при которых решение задачи представимо в виде ряда, содержащего решения уравнения \eqref{1}, соответствующие начальным функциям $1$, $t$, $t^2$.
Установлено, что наличие запаздывания по времени при старшей производной приводит к потере гладкости решения при расширении интервала времени, аналогично тому, как это имеет место для обыкновенных дифференциальных уравнений с опережающим аргументом.
Библиографий 5.