Об одновременном приближении функций и их производных посредством полиномов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке

Рассмотрена задача об исследовании аппроксимативных свойств полиномиального оператора $\mathcal{ X}_{m,N}(f)=\mathcal{ X}_{m,N}(f,x)$, действующего в пространстве $C[-1,1]$, основанного на использовании лишь дискретных значений функции $f(x)$, заданных в узлах равномерной сетки $\{x_j=-1+jh\}_{j=0}^{N+2r-1}\subset [-1,1]$, который может быть использован в задаче об одновременном приближении дифференцируемой функции $f(x)$ и ее нескольких производных $f'(x), \ldots, f^{(p)}(x)$. Построение операторов $\mathcal{ X}_{m,N}(f)$ основано на полиномах Чебышева $T_n^{\alpha,\beta}(x,N)$ $(0\le n\le N-1)$, образующих ортогональную систему на множестве $\Omega_N=\{0,1,\ldots,N-1\}$ с весом
$$ \mu(x)=\mu(x;\alpha,\beta,N)=c{\Gamma(x+\beta+1) \Gamma(N-x+\alpha)\over \Gamma(x+1)\Gamma(N-x)}, $$
т.е.
$$ \sum_{x\in\Omega_N}\mu(x)T_n^{\alpha,\beta}(x,N)T_m^{\alpha,\beta}(x,N) =h_{n,N}^{\alpha,\beta}\delta_{nm}. $$
Получены верхние оценки для функции Лебега оператора $\mathcal{ X}_{m,N}(f)=\mathcal{ X}_{m,N}(f,x)$ и весовых приближений вида
$$ {|\frac1{h^{\nu}}\Delta_h^\nu\left[ f(x_{j-\nu})-\mathcal{ X}_{n+2r,N}(f,x_{j-\nu})\right]|\over\left(\sqrt{1-x_{j}^2}+{1\over m}\right)^{r-\nu-\frac12}}. $$