Дискретное логарифмирование в произвольных факторкольцах многочленов от одной переменной над конечным полем

В статье рассматривается вопрос о разрешимости и решении сравнения $a^n(x)\equiv b(x)\pmod{F(x)}$ над конечным полем для произвольного многочлена $F(x)$. В случае, если $F(x)$ является степенью неприводимого многочлена, приведен алгоритм подъема решений, то есть вопрос о решении сравнения
$$ a^n(x)\equiv b(x)\pmod{f^\alpha(x)} $$
сводится к вопросу о решении сравнения $a^n(x)\equiv b(x)\pmod{f(x)}$. Для данного случая получены необходимые и достаточные условия разрешимости показательного сравнения. Если $F(x)$ не является степенью неприводимого многочлена, то решение сравнения по-прежнему сводится к решению сравнений вида $a^n(x)\equiv b(x)\pmod{f_i(x)}$, а вопрос о проверке разрешимости сводится к проверке разрешимости сравнений вида
$$ a^n(x)\equiv b(x)\pmod{f_i(x)f_j(x)}, $$
где $f_i(x)$ и $f_j(x)$ – неприводимые делители $F(x)$. Для модулей вида $f_i(x)f_j(x)$ результат получен в некоторых частных случаях.
Кроме того, описан конструктивный изоморфизм факторкольца многочленов $R=GF(p^m)[x]/(f^\alpha(x))$ и цепного кольца, представленного в виде $\overline R=GF(p^r)[x]/(x^t)$, благодаря чему полученные для многочленов результаты обобщаются на конечные цепные кольца простой характеристики. В частности, для цепных колец, представленных в виде $GF(p^r)[x]/(x^t)$, получены необходимые и достаточные условия разрешимости показательного сравнения.