О свойствах булевых функций, не имеющих имплицент от трех переменных

Пусть $F_n$ – множество всех булевых функций от $n$ переменных и $M_n\subset F_n$ – класс функций, не имеющих имплицент от трех или менее существенных переменных. Обозначим через $n_\mathrm{max}^{(3)}(m)$ наибольшее значение $n$, при котором класс $M_n$ содержит функцию веса $m$. В статье показано, что $n_\mathrm{max}^{(3)}(11)=5$, $n_\mathrm{max}^{(3)}(12)=11$, $n_\mathrm{max}^{(3)}(13)=11$ (ранее точные значения были известны только при $m\le10$). На основе тензорного произведения матриц предложена бинарная операция $\xi\colon F_{n_1}\times F_{n_2}\to F_{n_1\cdot n_2}$ и доказано, что если один из аргументов операции $\xi$ лежит в $M_{n_1}$, а другой – такая булева функция $f(x_1,\dots,x_{n_2})$, что $f(x_1,\dots,x_{n_2})\vee f(\bar x_1,\dots,\bar x_{n_2})$ принадлежит $M_{n_2}$, то результат операции всегда лежит в $M_{n_1\cdot n_2}$. Показано, что при ослаблении указанных условий на аргументы операции $\xi$ результат не обязан лежать в $M_{n_1\cdot n_2}$. Операция $\xi $ используется в алгоритме построения булевых функций без имплицент от трех переменных со сколь угодно малым отношением веса функции к числу переменных.