О полугруппах типа Вейерштрасса и Пуассона

Оператор, ставящий начальному условию решение задачи Коши для уравнения теплопроводности $\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u$, называют оператором Вейерштрасса. Оператор, ставящий граничному условию решение задачи Дирихле для уравнения $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=-\Delta u$ в полупространстве $t>0$, называют оператором Пуассона. В данной заметке изучаются свойства таких операторов с заменой в уравнениях оператора Лапласа $\Delta$ на оператор числа частиц квантовой теории поля
$$ -N=\sum_i\left(\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}-x_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right). $$