Relations between conjectural eigenvalues of Hecke operators on submotives of Siegel varieties

Существуют гипотетические соотношения между $L$-функциями подмотивов многообразий Шимуры и автоморфными представлениями соответствующих редуктивных групп, принадлежащие Ленглендсу – Артуру. В настоящей работе эти соотношения используются для получения явных соотношений между собственными числами $p$-операторов Гекке (образующих $p$-алгебры Гекке многообразия $X$) на пространствах когомологий некоторых таких подмотивов в случае, когда $X$ — многообразие Зигеля. Этот результат также является гипотетическим: методы подсчета точек на редукциях $X$, основанные на формуле следа Сельберга, не используются.
Полученные соотношения оказываются линейными, коэффициенты в них являются многочленами от $p$ и удовлетворяют простой рекуррентной формуле. Аналогичный результат может быть легко получен для произвольного многообразия Шимуры.
Представленный результат есть промежуточный шаг в обобщении теоремы Колывагина о конечности группы Тэйта – Шафаревича эллиптических кривых аналитического ранга 0 или 1 над $\mathbb Q$ на случай подмотивов других многообразий Шимуры, в частности, многообразий Зигеля рода 3, см. [9].
Идея доказательства: с одной стороны, упомянутые формулы Ленглендса – Артура дают (гипотетические) соотношения на числа Вейля подмотива; с другой стороны, отображение Сатаке позволяет преобразовывать эти соотношения в соотношения на собственные числа $p$-операторов Гекке на $X$.
Статья также содержит обзор некоторых близких вопросов, например, явного нахождения полиномов Гекке многообразия $X$. В приложении содержатся таблицы для случаев $g=2,3$.