О факторизации оператор-функций в гильбертовом пространстве

Пусть $H$ — гильбертово пространствo, $L=L(H)$ — алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в $H$, $I$ — единичный оператор и $H_\alpha^{+}(\Gamma,L)$ — алгебра удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем $\alpha\in(0,1)$ оператор-функций на окружности $\Gamma=\{|\zeta|=1\}$ со значениями в $L$, допускающих голоморфные продолжения в круг $|\lambda|<1$. В работе показано, что если $A(\zeta)\in H_\alpha^{+}(\Gamma,L)$ и для каждого $\zeta\in\Gamma$ точка $z=0$ не принадлежит выпуклой оболочке спектра оператора $A(\zeta)$, то имеет место факторизация
\begin{gather*} A(\lambda)=A_{1,+}(\lambda)(\lambda^k I+\sum_{n=0}^{k-1}\lambda^n B_n) A_{2,+}(\lambda),\qquad|\lambda|\le1,\\ A_{j,+}(\lambda)\in H^{+}_\alpha(\Gamma, L),\quad j=1,2, \quad B_n\in L, \quad k=\operatorname{ind}_\Gamma\!A(\zeta), \end{gather*}
причем операторы $A_{j,+}(\lambda)$ обратимы при $|\lambda|\le1$.