О йордановых идеалах и подмодулях: алгебраический и аналитический аспекты

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра, а $X$ — произвольный $\mathcal{A}$-бимодуль. Линейное подпространство $Y\subset X$ называется йордановым $\mathcal{A}$-подмодулем, если $Ay+yA\in Y$ для всех $A\in\mathcal{A}$ и $y\in Y$ (при $X=\mathcal{A}$ это совпадает с понятием йорданова идеала). Мы рассматриваем вопрос о том, при каких условиях йордановы подмодули являются подбимодулями. Даются общие критерии как в чисто алгебраической ситуации, так и в случае банаховых бимодулей над банаховыми алгебрами. Рассматриваются также симметрично-нормированные йордановы подмодули над $C^*$-алгебрами. Доказывается, что существуют $C^*$-алгебры, не все йордановы идеалы которых являются идеалами.