Эта публикация цитируется в
6 статьях
О точных оценках производных четного порядка в пространствах Соболева
Т. А. Гарманова,
И. А. Шейпак Московский государственный университет
имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, Россия
Аннотация:
В статье рассматриваются нормы операторов вложения соболевских пространств
$\mathring{W}^n_2[0;1]\hookrightarrow\mathring{W}^k_\infty[0;1]$ (
$0\leqslant k\leqslant n-1$). Изучаются наименьшие возможные величины
$A^2_{n,k}(x)$ в неравенствах $|f^{(k)}(x)|^2\leqslant A^2_{n,k}(x)\|f^{(n)}\|^2_{L_2[0;1]}$ (
$f\in \mathring{W}^n_2[0;1]$). На основе соотношений между функциями
$A^2_{n,k}(x)$ и первообразными полиномов Лежандра устанавливаются свойства максимумов функций
$A^2_{n,k}(x)$. Показано, что при всех
$k$ точкой глобального максимума функции
$A^2_{n,k}$ на отрезке
$[0;1]$ является точка локального максимума, ближайшая к середине отрезка, в частности, при четных
$k$ такой точкой является
$x=1/2$. Для всех четных
$k$ найдена явная формула для норм операторов вложения.
Ключевые слова:
пространства Соболева, многочлены Лежандра, константы вложения, оценки производных.
УДК:
517.984+
517.518.23
MSC: 26D10,
46E35 Поступило в редакцию: 06.06.2020
Исправленный вариант: 09.07.2020
Принята в печать: 14.07.2020
DOI:
10.4213/faa3805