Компактные операторы и равномерные структуры в гильбертовых $C^*$-модулях

Недавно был найден критерий $\mathcal A$-компактности оператора $F\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ между гильбертовыми $C^*$-модулями, допускающего сопряженный, где $\mathcal{N}$ — счетно порожденный модуль. А именно, была обнаружена такая равномерная структура (система псевдометрик) в $\mathcal{N}$, что оператор $F$ является $\mathcal{A}$-компактным тогда и только тогда, когда множество $F(B)$ вполне ограничено, где $B\subset\mathcal{M}$ — единичный шар.
Мы доказываем, что (1) $\mathcal{A}$-компактность влечет за собой вполне ограниченность для модуля $\mathcal{N}$ общего вида, (2) для $\mathcal{N}$ со свойством $\mathcal{N}\oplus K\cong L$, где $L$ — модуль $\ell_2$-типа, не являющийся счетно порожденным, вполне ограниченность влечет за собой компактность и (3) для $\mathcal{N}$, близких к счетно порожденным, достаточно использовать лишь псевдометрики, «похожие на фреймовые», чтобы получить критерий $\mathcal{A}$-компактности.