О локальной непрерывности по Гёльдеру минимумов для одного класса интегральных функционалов вариационного исчисления
Тициано Грануччи Istituto Statale Istruzione Superiore Leonardo da Vinci, Firenze, Italy
Аннотация:
Изучается свойство всюду непрерывности по Гёльдеру минимумов для следующего класса интегральных функционалов:
$$
\int_{\Omega}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}+G\bigl(x,u,|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \,dx,
$$
при некоторых общих условиях на функцию плотности
$G$.
Наши предположения на функцию
$G$ следующие. Пусть
$\Omega$ – ограниченное открытое подмножество
$\mathbb{R}^{n}$, где
$n\geqslant 2$, и пусть $G \colon \Omega \times\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}_{0,+}^{m}\to\mathbb{R}$ – функция Каратеодори, где
$\mathbb{R}_{0,+}=[0,+\infty)$ и $\mathbb{R}_{0,+}^{m}=\mathbb{R}_{0,+}\times \dots \times\mathbb{R}_{0,+}$ при
$m\geqslant 1$. Мы накладываем следующие условия на рост функции
$G$: найдется константа
$L>1$ такая, что
\begin{align*}
\sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}|^{q}-\sum_{\alpha=1}^{m}|s^{\alpha}|^{q}-a(x)
&\leqslant G\bigl(x,s^{1},\dots,s^{m},|\xi^{1}|,\dots,|\xi^{m}|\bigr)
\\
&\leqslant L\biggl[\sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}|^{q}+\sum_{\alpha=1}^{m}|s^{\alpha}|^{q}+a(x) \biggr]
\end{align*}
для
$\mathcal{L}^{n}$-почти всех
$x\in \Omega $, любого
$s^{\alpha}\in\mathbb{R}$ и любого
$\xi^{\alpha}\in\mathbb{R}$ при
$\alpha=1,\dots,m$,
$m\geqslant 1$ и для функции
$a(x) \in L^{\sigma}(\Omega)$ такой, что
$a(x)\geqslant 0$ для
$\mathcal{L}^{n}$-почти всех
$x\in \Omega$ и чисел
$\sigma >{n}/{p}$,
$1\leqslant q<p^2/n$ и
$1<p<n$.
В приведенных предположениях мы доказываем следующий результат о регулярности. Пусть
$u\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m})$ – локальный минимум рассматриваемого функционала, тогда $u^{\alpha}\in C_{\mathrm{loc}}^{o,\beta_{0}}(\Omega) $ для любого
$\alpha=1,\dots,m$ и некоторого
$\beta_{0}\in (0,1) $. Регулярность минимизирующей векторнозначной функции выводится из того, что каждая ее компонента лежит в подходящем классе де Джорджи, откуда и следует непрерывность по Гёльдеру.
Ключевые слова:
всюду регулярность, непрерывность по Гёльдеру.
MSC: 49N60,
35J50 Поступило в редакцию: 04.12.2022
Исправленный вариант: 10.06.2023
Принята в печать: 12.06.2023
DOI:
10.4213/faa4075