(Слабо) почти периодические функции и свойства неподвижной точки в сепарабельных (относительно нормы) $*$-слабо компактных выпуклых множествах пространств, двойственных к банаховым

Пусть $S$ – полутопологическая полугруппа, а $\operatorname{WAP}(S)$ и $\operatorname{AP}(S)$ суть алгебры соответственно слабо и сильно почти периодических функций на $S$. Настоящая работа строится вокруг следующего свойства неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$): если $\pi\colon S\times K \to K$ – совместно $*$-слабо непрерывное нерастягивающее действие на непустом сепарабельном относительно нормы $*$-слабо компактном выпуклом множестве $K$ в пространстве $E^*$, двойственном к банахову пространству $E$, то в $K$ существует общая неподвижная точка для $S$. В первую очередь нас интересуют ответы на следующие вопросы, сформулированные Лау и Чжаном. (1) Пусть $S$ – дискретная полугруппа. Имеет ли алгебра $\operatorname{WAP}(S)$ левоинвариантное среднее, если выполнено свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$)? (2) Является ли существование левоинвариантного среднего на $\operatorname{WAP}(S)$ достаточным условием, чтобы гарантировать свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$)? (3) Обладают ли бициклические полугруппы $S_2=\langle e,a,b,c \colon ab=ac=e\rangle$ и $S_3=\langle e,a,b,c,d \colon ac=bd=e\rangle$ свойством неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$)? Помимо прочего, мы также приводим теоремы, характеризующие аменабельность алгебр $\operatorname{WAP}(S)$ и $\operatorname{AP}(S)$.