Удивительная целочисленность собственных значений

Каждому частично упорядоченному множеству $(X, \preccurlyeq)$ мы сопоставляем квадратную матрицу $M^{X}$, матричные элементы которой индексируются парой полных порядков на $X$, совместимых с $\preccurlyeq$. Каждый матричный элемент $(M^{X})_{PQ}$ – это формальная переменная, определяемая пьедесталом полного порядка $Q$ относительно полного порядка $P$. Мы доказываем, что все собственные значения матрицы $M^{X}$ являются $\mathbb{Z}$-линейными комбинациями этих переменных.