Алгебраические соотношения для сумм обратных величин чётных членов последовательности Фибоначчи

В этой статье мы обсуждаем проблемы алгебраической независимости, а также алгебраические соотношения для сумм обратных величин чётных членов последовательности Фибоначчи $\sum^\infty_{n=1}F_{2n}^{-2s}$ и сумм вида $\sum^\infty_{n=1}F^{-2s}_{4n}$, $\sum^\infty_{n=1}F^{-2s}_{4n-2}$. Мы доказываем, что числа $\sum^\infty_{n=1}F_{4n-2}^{-2}$, $\sum^\infty_{n=1}F_{4n-2}^{-4}$, $\sum^\infty_{n=1}F_{4n-2}^{-6}$ алгебраически независимы, и представляем каждую из сумм $\sum^\infty_{n=1}F^{-2s}_{4n-2}$ ($s\ge4$) в виде явно выписываемой рациональной функции от этих трёх чисел над $\mathbb Q$. Подобные результаты получены для различных рядов чётного типа, в том числе для сумм обратных величин чисел Люка $\sum^\infty_{n=1}L_{2n}^{-p}$, $\sum^\infty_{n=1}L^{-p}_{4n}$, $\sum^\infty_{n=1}L^{-p}_{4n-2}$.