Характеризация интегралов по всем радоновским мерам с помощью индексов ограниченности

В статье рассматривается задача характеризации интегралов как линейных функционалов. Она восходит к известным результатам Ф. Рисса (1909 г.) и И. Радона (1913 г.) об интегральном представлении ограниченных линейных функционалов интегралами Римана–Стилтьеса на отрезке и интегралами Лебега на компакте в $\mathbb R^n$ соответственно. После работ И. Радона, М. Фреше и Ф. Хаусдорфа задача характеризации интегралов как линейных функционалов стала конкретизироваться как задача распространения теоремы Радона с $\mathbb R^n$ на более общие топологические пространства с радоновскими мерами. Эта задача оказалась трудной, её решение имеет долгую и богатую историю, поэтому естественно называть её проблемой Рисса–Радона–Фреше характеризации интегралов. Важные этапы её решения связаны с именами С. Банаха, С. Сакса, С. Какутани, П. Халмоша, Э. Хьюитта, Р. Эдвардса, Н. Бурбаки, В. К. Захарова, А. В. Михалёва и др. В данной статье проблема Рисса–Радона–Фреше решается в общем случае произвольных радоновских мер на хаусдорфовых пространствах. Решение даётся в виде параметрической теоремы с помощью нового понятия индекса ограниченности функционала. Из этой теоремы следуют как частные случаи известные результаты указанных выше авторов о характеризации радоновских интегралов для различных классов радоновских мер и топологических пространств.