Об условиях $k$-транзитивности произведения регулярных групп подстановок

В работе анализируется произведение $m$ регулярных групп подстановок ${G_1}\cdot\ldots\cdot{G_{m}}$, где $m \geq 2 $ — натуральное число. Каждая из регулярных групп подстановок является подгруппой $\mathrm S(\Omega)$ — симметрической группы подстановок степени $|\Omega|$ для некоторого множества $\Omega$. М. М. Глуховым доказано, что для $k=2$ и $m=2$, $2$-транзитивность произведения ${G_1}\cdot{G_{2}}$ эквивалентна отсутствию нулей в соответствующей квадратной матрице с количеством строк и столбцов, равным $|\Omega|-1$. Также М. М. Глуховым приведены необходимые условия $2$-транзитивности такого произведения регулярных групп подстановок. В данной работе рассматривается общий случай для любых натуральных $m$, $k$, таких что $m \geq 2 $, $k \geq 2 $.
Доказано, что $k$-транзитивность произведения регулярных групп подстановок ${G_1}\cdot\ldots\cdot{G_{m}}$ эквивалентна отсутствию нулей в квадратной матрице, количество строк и столбцов в которой равно $(|\Omega | - 1)!/(|\Omega | - k)!$. Получена зависимость между количеством дуг орграфа, соответствующего этой матрице, и таким натуральным числом $l$, что произведение $(PsQt)^{l}$, где $P,Q \subseteq \mathrm S(\Omega )$ — некоторые регулярные группы подстановок, а подстановка $st$ — $(|\Omega | - 1)$-цикл, будет $2$-транзитивно. Приведён пример построения таких шифров типа AES, что их раундовые преобразования будут $k$ транзитивны на некотором количестве раундов.