Типовая размерность системы дифференциальных уравнений первого порядка

В статье доказано, что старший коэффициент ненулевого размерностного многочлена Колчина системы дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных от одной дифференциальной переменной равен $1$. Типовая дифференциальная размерность играет важную роль в дифференциальной алгебре, некоторые её оценки через порядки уравнений системы были доказаны Дж. Риттом и Э. Колчиным. Ими же выдвигались гипотезы, которые позднее были опровергнуты. Известны оценки типовой дифференциальной размерности в коразмерности $1$ (Э. Колчин) и в случае линейных дифференциальных уравнений (Д. Григорьев). Отметим, что в коразмерности $2$ для систем линейных дифференциальных уравнений от одной переменной выполняется известная теорема Безу, а в случае нескольких переменных нами ранее доказан её аналог, который не выполняется в бо́льших коразмерностях. Для нелинейных систем в общем случае пока нет экспоненциальных оценок (хотя известно, что рост типовой размерности ограничен функцией Аккермана).