Применение базисов Грёбнера для решения полиномиально-нелинейных краевых задач с приближённо-заданными граничными условиями

В данной работе представлен алгоритм построения приближенных решений краевых задач для полиномиально-нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, таких что одно или оба граничных условия заданы приближённо. Алгоритм основан на введении квадратичного штрафа для приближённо-заданных граничных условий и решении соответствующей задачи на безусловный экстремум. Возникающие при этом нелинейные алгебраические уравнения на коэффициенты разложения решения по подходящему набору базисных функций решаются путем построения лексикографического базиса Грёбнера. Показано, что построение такого базиса позволяет развить пертурбативную схему по обратным степеням параметров штрафа. Работа предложенного алгоритма проиллюстрирована на примере одной из краевых задач с использованием системы аналитических вычислений Reduce. Получаемая точность вычислений анализируется в сравнении с некоторыми другими методами решения данной задачи.