Алгебры Цинбиля над $q$-коммутатором

Алгебра с тождеством $t_1(t_2t_3)=(t_1t_2+t_2t_1)t_3$ называется алгеброй Цинбиля. Например, $\mathbb C[x]$ с умножением $a\circ b=b\int\limits_0^xa\,dx $ цинбилева. Пусть $a\circ_q b=a\circ b+q\,b\circ a$ — $q$-коммутатор, $q\in\mathbb C$. Мы доказываем, что для любой алгебры Цинбиля $A$ соответствующая алгебра над коммутатором $A^{(-1)}=(A,\circ_{-1})$ удовлетворяет тождествам $t_1t_2=-t_2t_1$ и
$$ (t_1t_2)(t_3t_4)+(t_1t_4)(t_3t_2) =\operatorname{jac}(t_1,t_2,t_3)t_4+\operatorname{jac}(t_1,t_4,t_3)t_2, $$
где
$$ \operatorname{jac}(t_1,t_2,t_3)=(t_1t_2)t_3+(t_2t_3)t_1+(t_3t_1)t_2. $$
Мы находим базис тождеств для $q$-цинбилевых алгебр и доказываем, что они образуют многообразие, эквивалентное многообразию цинбилевых алгебр при $q^2\ne1$.