Лемма о 3-секущих для многообразий с компонентами различной размерности

Пусть $X$ — неприводимое проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. При $r\ge3$ верно следующее: если любая $(r-2)$-плоскость $\overline{x_1,\ldots,x_{r-1}}$, где $x_i$ — генерические точки, пересекает $X$ также в точке $x_r$, отличной от $x_1,\ldots,x_{r-1}$, то $X$ содержится в линейном подпространстве $L$, таком что $\operatorname{codim}_L X\le r-2$. Цели этой статьи — во-первых, дать другой вывод этого результата для $r=3$; во-вторых, обобщить его на многообразия с компонентами различной размерности. Ради большей ясности переформулируем нашу задачу следующим образом. Пусть $Z$ — многообразие единой размерности $n$ (т. е. имеющее компоненты только этой размерности), не являющееся линейным пространством и вложенное в $\mathbb P^r$, $r\ge n+1$; это многообразие может быть особым и/или приводимым. Многообразие 3-секущих в $Z$, скажем $V_{1,3}(Z)$, имеет размерность, строго меньшую, чем $2n$, за исключением случая, когда $Z$ вложено в $(n+1)$-мерное линейное пространство и имеет размерность не ниже 3; в последнем случае $\dim V_{1,3}(Z)=2n$. Отсюда следует также, что если $\dim V_{1,3}(Z)=2n$, то можно вложить $Z$ в $\mathbb P^{n+1}$. Затем мы исследуем более общий случай, когда $Z$ может иметь компоненты различной размерности. В этой ситуации пусть $Z$ — многообразие, возможно особое, размерности $n$, которое может быть приводимым или иметь компоненты меньшей размерности. Пусть $Z$ вложено в $\mathbb P^r$, где $r\ge n+1$, и $Y$ — его собственное подмногообразие размерности $k\ge1$, $S$ — компонента максимальной размерности в замыкании множества $\{l\in\mathbb G(1,r)\mid\exists p\in Y,q_1,q_2\in Z\setminus Y,\ q_1,q_2,p\in l\}$. Мы показываем, что $S$ имеет размерность, строго меньшую, чем $n=k$, за исключением случая, когда объединение прямых в $S$ имеет размерность $n+1$; тогда $\dim S=n+k$. В последнем случае, если размерность пространства строго больше $n+1$, объединение прямых в $S$ не может покрывать все пространство. Это основной результат нашей работы. Приведены также примеры, показывающие, что наша оценка является точной.